无形式作用论多维辩证逻辑

多维辩证逻辑

作者：孙洪波2025/03/11

多维辩证逻辑：隔离辩证逻辑的扩展

我认为可以扩展隔离辩证逻辑，比方说，有三个对象A1、A2和A3，如果否定A1就会得到非A1：A2和A3，那么A1和A2是对立的，和A3也是对立的。这样否定A1就能得到A2和A3（这也是通过A1来确定了A2和A3），否定A2和A3就能得到A1（这也是通过A2和A3来确定了A1），通过这个对立，它们就可以统一在一起。同样A2和“A1和A3”作为对立也可以统一在一起，A3和“A1和A2”作为对立也可以统一在一起。这三个统一其实就是A1、A2和A3的统一体，这种统一体就相当于是它具有多个角度的对立统一，或者从另外一个角度讲，多个对立统一综合在了一起。

这样就可以扩展到n个对立面：A1、A2 …An。这就是多维对立统一，我们就说这组对象是多维辩证统一的，它们统一成了一个统一的对象。当然也可以扩展到无限多个对立面。

这样我们对“统一”的理解变得更加复杂和多层次。统一不再只是两个对立面的简单融合，而是多个对立维度的复杂编排，一种由不同力量产生的动态平衡。这种框架体现了多维辩证逻辑的不同维度之间的动态性。在传统辩证法中，对立面往往被看作是单一的，但在这种扩展中，对立面之间的关系是复杂和组合的。

通过引入多个对立面的概念，这种多维的对立统一的理论允许从多角度、多层次来看待统一问题。这不仅丰富了辩证逻辑的应用，还为解决复杂问题提供了更为灵活的思考方式。

下面把多维辩证逻辑运用到集合论中。

由于现代数学是奠基在集合论上的，因此，解释了ZFC公理集合论系统中的10个公理，也就解释了集合论，也因此奠基了数学，为现代数学提供了哲学基础。

首先我们使用多维辩证逻辑来定义集合：对于一组对象Ai（i不预先确定），如果这组对象是多维辩证统一的，那么这组对象就统一成了一个对象A，我们把这个A叫做集合。由于，集合A是辩证统一的，那么它的各个元素都是独立的，都是相互确定的，因此也就具有独立的性质：肯定自身，否定他者。如果只有一个对象a0，它自身是确定的，那么它也能组成集合，因为它自身确定了自身，这种情况就是“a0是a0”，自身显现自身。

对集合的定义，这似乎是合理的。但是，还有一个问题，如果我们不获得集合A中的某个元素的话，那么对集合的定义就足够了。但是，如果我们要能够获得集合A的某个元素的话，那么，对集合的这个定义就缺失了这个功能。这个集合的定义并没有告诉我们如何从集合A中获得某个元素，只是说根据辩证逻辑，对立双方能够相互转化和确定。举个列子，在小节“隔离逻辑”中，我们知道“真和假能够统一成Ind（Indeterminate）”，但是，这并没有告诉我们如何从Ind中获得真或假，真或假的获得是通过not(Ind)做到的。所以说，如果我们需要能够获得集合A的某个元素的话，多维辩证逻辑的范围是大于集合的定义的。

因为三个无形式作用具有同一性，所以任何一个作用都不能单独存在。所以，一个隔离的东西，必须能够通过一定的动力过程而显现出来，否则就违反无形式作用论的同一性。所以，对于集合这样的隔离世界的独立个体来讲，它的显现就是它的结构。也就是说，集合必须是能够构造的，必须是结构确定的，从而能满足无形式作用论的同一性。这样就能从这个构造中获取某个具体的元素（例如：x为自然数，2x作为一个结构就表示偶数集；大于0小于1的实数组成的集合），从而能显现集合本身。对于有限个元素的集合，通过枚举的方式（最基本的方式）就能获得所有的元素。这其实就是构造性公理（Axiom of Constructibility）：即所有集合都是可构造的。然而ZFC集合论系统中没有构造性公理，所以这个系统中需要加入构造性公理。ZFC系统加入构造性公理，就变成了ZFC+C（最后一个C是Constructibility）。这样就可以使得集合能够满足无形式作用论的同一性了。

总结集合的定义：第一，要满足多维辩证逻辑，第二，要满足构造性公理，要能够通过集合的构造性获得集合的所有的元素。

还必须注意一个问题，a和非a是对立的，那么它们的统一物也是确定的和独立的。这个统一物是由它的对立面共同决定的，完全决定的。它的对立面都是独立而确定的，所以，统一物在辩证逻辑的意义上也是确定的和独立的。

我们先看一下空集公理的直观解释：存在空集∅={}。这个集合没有任何的元素。

在小节“用数学探索哲学”中讲到，无形式在隔离世界中变成了“无”，从隔离世界的角度来讲这个“无”就是完全的没有任何的东西。这个“无”所表达的就是一个概念没有任何的属性。用在集合的概念上就是一个集合没有任何的元素，那么这样的一个集合就是空集∅。这其实就是解释了空集公理。

接下来，我要用这个集合的定义来推导ZFC公理集合论系统的9个公理：

注意，这里对公理的推导是最直观的推导。公理在本质上来说是直观的。由于数学操作的需要，集合论的公理变得很抽象，但在本质上直观才是最根本的，如果这些公理的直观不成立，这些公理也不成立。

（1）选择公理

直观的解释：可以在一个集合中选取其中的一个元素。

其实我认为可以用无形式作用论来解释直观性的选择公理。这需要对现在的集合概念进行改造，在集合中加一个特别的元素“否定”作为动力，当然这个元素并不是传统意义上的集合成员，它不直接参与集合的运算，而是作为一个隐含的“动力”存在。例如，A={x1,x2,x3,not}。其实，集合这个概念的意思应该是：集合中的元素之间都是隔离的，每一个元素都是独立与其它的元素的（后面会看到，这种独立并非它们之间不可以有任何关系）。我们从集合A中选择一个元素x1，其实就是让x1隔离出来，但是需要动力和显现，这个动力就是not，这个显现就是在集合A中的非x1（x2和x3），非x1是x1的反向显现。从集合A中选出一个元素x1就已经暗示否定了非x1，因为你没有选择非x1，选择不仅仅是关于挑选某样东西，还关乎拒绝其他可能性。这就是无形式联合转化（实际上x1、非x1和not也构成了无形式一体转化）。这其实也是隔离辩证逻辑。现在就很明确了：之所以能够选择x1，就是因为可以通过动力not和非x1来显现x1，这符合无形式联合转化。也就是说，之所以能够选择x1就是因为实施了一个无形式联合转化。

注意，选择公理只是说能够从一个集合中选出一个元素，这只能表现集合中的元素之间的辩证关系，并没有说如何从一个集合中获取一个元素。因此，不能代替构造性公理，它们是有区别的。

反思选择公理：

数学形式的表达：有一族非空集合 {Ai∣i∈I}（( I ) 是任意索引集），组成一个集合 A={Ai∣i∈I}。存在一个选择函数 F:I→⋃i∈IAi，使得对于每个 i∈I，F(i)=ai∈Ai。这些元素 {ai∣i∈I} 组成一个集合a。

也就是说，选择公理有两个功能，第一个是选择集合里的某个元素，第二个是被选出来的这些元素能组成一个集合。

第一个功能就是我用多维辩证逻辑对选择公理的直观解释。

第二个功能也可以从我对集合的定义中获得：

由于第一个功能，所以，任选一个集合是Ax，在Ax中任选一个ax。再任选另一个集合是Ay，在Ay中任选一个ay（假设ax和ay是不同的两个元素）。因为Ax和Ay都是集合，所以ax和ay都是独立的，因此，它们也是对立的。由于ax和ay任意性，所以a={ai∣i∈I}满足集合定义中的多维辩证逻辑。由于A是集合，所以A是满足构造性公理的，而a继承了A的结构。这种继承可以这样理解：集合A是具有构造性的，所以可以获得它的元素Ax，然后在Ax中任意获取一个元素ax（集合Ax也是具有构造性的），这样就可以获得一个具体的集合a。对于这个具体的a，我们可以通过获得A的每个元素，再获得A的每个元素的每个元素，就可以获得集合a的所有元素。因此，a是满足构造性公理的。因此，a完全满足了集合的定义，所以它就是一个集合。如果ax和ay相同的话，它们可以合并成一个元素，并不影响{ai∣i∈I}成为一个集合。这样就推导出了第二个功能。当然在第二个功能中并不需要具体指出ax是哪一个，而是指Ax中的任意的一个。第二个功能只是表达了集合a的存在性。

我们看到，这个公理是可以分离的，因此，在选择公理中保留第一个功能，而把第二个功能作为第一个功能的推论。这样就能很好的保持公理的清晰性和简洁性。

（2）外延公理

直观的解释：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有的元素相同，则它们是相等的。

既然我们已经用无形式作用论解释了选择公理，那么就可以用无形式作用论来解释“外延公理”。

假设A和B两个集合含有的元素相同。根据选择公理，可以选择集合中任意的一个元素x，利用否定，就可以获得这些元素中的其它元素（非x），那么，x就不是非x。那么，根据假设，A和B两个集合含有的元素相同，那么，就可以在A中和在B中任选同一个元素x，那么，在A中的非x和在B中的非x应该是相同的，否则，就会有一个元素xx在A的非x中，而不在B的非x中，或者相反。因为xx不是x，所以xx在A中，而不在B中，这与假设相矛盾。这样，在A中的任意一个x，在B中也能获得同样的x，同时也能获得同样的非x。由于x的任意性，所以根据集合的定义，A和B的定义中的多维辩证逻辑是相同的。在A中获取元素x，也能在B中获得x，反过来也是一样，这说明对集合元素的获取和具体的集合的构造无关，也就是说只要集合有构造就可以了，只要能够从集合中获得元素就可以了。所以，就算是两个集合的构造不同，只要两个集合的元素相同，那么这两个集合也是相同的。因此A=B。注意，这里的推理完全使用的是形式逻辑。

反过来，如果A=B，那么根据集合的定义，它们具有相同的对立面，也就是具有相同的元素。

这就证明了一个集合完全是由它的元素所决定的。换句话说，如果两个集合不相等，那么它们必有不相同的元素。

这同时也说明了，多维辩证逻辑中的统一物也是由其对立面所决定的。

（3）配对公理

直观的解释：有两个独立的对象，它们就能组成一个集合。

根据我对集合的定义，那么配对公理就很简单了。两个不同的对象a和b，只要它们是独立的，那么，它们就可以相互否定，而相互确定对方，因此，A={a,b}满足集合定义中的多维辩证逻辑。而且，A只有两个元素，结构确定，可以用枚举的方式获得所有的元素，因此，A满足构造性公理。所以，根据集合的定义A就是一个集合。如果两个对象是相同的，只要它们是独立的，那么就可以成为一个元素的集合。

（4）正则公理

直观解释：I. 一个集合不能包含自身。II. 一个集合的元素不能是无限下降的链条（集合A中的元素A0∋A1∋A2∋A3∋…永远下去）。

这个公理的I已经在小节“形式逻辑”中进行了解释。现在依然可以用集合的定义来进行解释。

I. 一个集合不能包含自身：有一个集合A，另有一个对象b，A和b是相互独立的，那么，我们否定A，b就是非A。那么就可以把它们统一成集合B。现在的问题是B能不能等于A，如果B=A，那么否定A，b就不能是非A，因为，b依然在A中，所以，A和b不能构成对立，也就不能统一成B=A，也就是说，集合A不能包含自身。也就是说，否定A获得的b只能存在于不等于A的集合B中，A和b才能统一成B。

注意，b是可以成为A的一部分的，例如，B={b,{b}}，A={b}。B是一个合格的集合，我们否定{b}是可以获得b（非{b}）的，获得的这个b是B中的b，而不是{b}中的b，虽然它们都是b，但是它们所处的位置不同，也就变得不同了，可以把它们看成是b在不同地方的副本，所以B是一个合格的集合。这表明“否定”生成的b必须能够超出A的自我包含。

II. 无限下降的链条：如果这个无限下降链最终的终点是集合B，因为这是一个无限下降链，那么就会出现：B∋B∋B…永远下去，因此B也是B的元素，那么就会违反一个集合不能包含自身的问题。

集合A中的元素A0∋A1∋A2∋A3∋…永远下去，没有终点，这种情况的集合，A0作为A的元素实际上是无限嵌套的（类似A={A0},A0={A1},A1={A2}…）。由于集合没有度量（比如线段具有长度，长度就是线段的度量），所以，集合都是均等的，所以这种嵌套是永远不可能有极限的。那么，这个嵌套上的任何一个元素都会依赖它里面的元素的独立存在而存在，由于后面的元素没有一个能够确定独立存在，从而也就没有一个元素能独立存在，没有一个元素是确定的。因此A0是不确定的，所以这样的集合是没有意义的。因为辩证逻辑要求对立双方要能肯定自己，而A0无法肯定自己，所以A不符合集合的定义。

对于A={A}这种自包含的集合可以看成是上面的嵌套情况。根据上面的解释，A不符合集合的定义。

正则公理经常被描述为一个有点临时技术公理，以避免悖论，而不是一个具有深厚哲学基础的原则。但是，使用辩证逻辑却可以得到优雅的解释。

（5）并集公理

直观解释：有一族集合，这族集合也组成一个集合A，把它们元素组合在一起能组成一个集合。

为了简便，可以考虑两个集合Ax和Ay。由于它们都是集合，所以，它们的元素都是独立的，因此，它们的元素中的任何两个不同的元素都是对立的。

I. 假设任意的x属于Ax但是不属于Ay，那么，Ax中的其它元素都不是x，Ay中的所有元素都不是x。也就说，Ax和Ay中的非x是确定的。

II. 假设任意的x属于Ay但是不属于Ax，和“假设x属于Ax但是不属于Ay”是一样的道理。

III. 假设任意的x既属于Ax又属于Ay，，那么，Ax中的其它元素都不是x，Ay中的其它元素都不是x。也就说，Ax和Ay中的非x是确定的。

也就是说，集合Ax和Ay中的所有元素都满足集合定义中的多维辩证逻辑。而且，由于A是集合，所以可以获得它的每个元素，从而能获得A的每个元素的每个元素，也就获得了Ax和Ay的所有元素。因此，Ax和Ay的并集满足构造性公理。所以，根据集合的定义它们的并集就是一个集合。

（6）分离公理

直观解释：分离公理就是一个集合的任何子集都是集合。

任意的集合A，AA是A的任意子集，那么任取AA中的元素x，x也是A中的元素。按照我对集合的定义，那么，在A中不是x的元素都是非x，所以，在AA中任何不是x的元素也都是非x，因此，在AA中的x和非x都是独立而确定的，它们作为对立就能统一成AA这个集合，也就是说AA满足集合定义中的多维辩证逻辑。而且，由于A是集合，因此可以获得A的所有元素，同时也获得了AA的所有元素。因此，AA满足构造性公理。所以，根据集合的定义AA就是一个集合。

这就说明了，在一个多维辩证逻辑中，其中的任意个对象也可以对立统一。

（7）替换公理

直观解释：任意的集合A和一个函数f(x)，当x属于A时，f(x)都有定义的前提下，使得f的值域B也是一个集合。

我们先假设函数f是A到B的一一对应。由于f是函数，所以，B的元素都是独立而确定的。

如果B中只有一个元素bb，那么B就是一个集合，因为bb只能是自身确定的（自身是其自身），它的自身确定就确定了这个集合。

如果B中的元素多于一个，我们任选B中的元素b，根据函数f，必然在A中有一个唯一的元素a与之的对应。那么对于在A中任何的不是a的元素a1（也就是非a），由于f是一一对应，必然会有f(a1)不等于b，所以，在B中b之外的元素都不是b。因此，b和非b都是确定的，它们之间的对立就能统一成B，所以，B满足集合定义中的多维辩证逻辑。而且，函数f是A到B的一一对应，因此，A和B具有相同的结构，也就是说，获得A的所有元素的同时，通过f就可以获得B的所有元素，因此，B满足构造性公理。所以，根据集合的定义B就是一个集合。

对于函数f不是A到B的一一对应的情况，根据分离公理，A中的任何子集都是集合，所以，可以把具有相同函数值的变量只取一个和单值的变量组成一个A的子集AA。因此，可以把函数f的定义域变成AA，这样f就是AA到B的一一对应。因此，应用前面的解释，B就是一个集合。

（8）幂集公理

直观解释：一个集合的所有子集组成一个集合。

对于任意一个集合A，我们可以构造出它的幂集P(A)，即由A的所有可能子集组成的集合。简单来说，幂集公理声明：无论你有一个什么样的集合，总能生成一个新集合，这个新集合包含了原集合的所有子集。

根据分离公理，集合A的任一子集也是集合，由于集合都是统一物，因此，A的子集都是独立和确定的。而且，P(A)中的元素是A的不同子集组成的（根据外延公理，这些子集因其具有不同的元素而不同），因此，P(A)中的任何两个不同的元素都是对立的，P(A)中的元素能通过对立而统一成P(A)。因此，P(A)满足集合定义中的多维辩证逻辑。由于，A的任意子集Ax是一个集合，这本身就是一个确定的结构，也就是说，P(A)的所有的元素能通过A产生子集的方式获得。因此，P(A)满足构造性公理。所以，根据集合的定义P(A)就是一个集合。

这就说明了，在一个多维辩证逻辑中，其中的多个对象的组合和另一个多个对象的组合也可以对立统一。

（9）无穷性公理

直观解释：ZFC集合论中，存在一个无穷集合，其构造从空集∅开始，通过后继操作x∪{x}递归生成，例如，A={∅,{∅},{∅,{∅}},… }。这种类型的集合在正则公理中已经解释过了，它满足集合定义中的多维辩证逻辑（在正则公理中以B={b,{b}}做的解释）。而且，通过这种递归的结构可以获得所有A的元素，因此，A满足构造性公理。所以，根据集合的定义A就是一个集合。

在ZFC系统中加入构造性公理和它本身是相容的，没有产生矛盾。而且，使得对这些公理的阐述更加清晰，更加合理，更加自然，更加严谨。例如，在选择公理中，对于集族A= {Ai∣i∈I}（( I ) 是任意索引集），由于A是集合，因此可以根据它的构造获得它的所有的元素，也因此可以根据选择公理的第一个功能从A的每一个元素中获得一个元素，而组成一个集合。如果不能获得A的所有的元素，我们便不知道如何从无限多个集合中选择元素，在没有构造性公理的情况下，这只能完全归为公理。这其实就是告诉我们，构造性公理可以让我们从有限方式扩展到了无限的方式。这种扩展使得我对这9个公理的直观推导很自然的就能推演到严格的数学表达。

对这9个公理的推导都使用了多维辩证逻辑，这说明这些公理是多维辩证逻辑不同表现（在不加入构造性公理的情况下）。每个公理都体现了对立与统一的过程。实际上，这9个公理就是多维辩证逻辑的符号化（数学化）表现，这些公理的本质就是多维辩证逻辑。它们通过符号化的方式完整再现了辩证逻辑的过程，因此这9个公理最终体现为多维辩证逻辑本身。这种对集合的重新定义将集合从静态的数学对象提升为辩证的哲学实体，揭示了集合论背后的生成机制。这不仅解释了ZFC公理的数学合理性，还为其提供了本体论和认识论的哲学基础，实现了“用哲学奠基数学”的目标。ZFC集合论不仅是数学的基础，也是辩证逻辑的数学化表达。这与我在小节“用数学探索哲学”中提到的“无形式转化为形式的过程必然伴随着数学结构”的观点一致，数学的本质被重新定义为一种动态的生成过程。这样就把哲学和数学联系了起来。

既然我们用无形式作用论和辩证逻辑解释了ZFC集合论中的所有公理，那么就成功的奠基了集合论，无形式作用论和辩证逻辑就成了集合论的基础，也成了数学的基础。数学不再是脱离哲学的形式体系，而是哲学逻辑的直接体现。更进一步，既然哲学变成了ZFC集合论中的所有公理的基础，那么这些公理已经不能叫做公理了，它们已经不再是直观的了，不再是自明的了，而是可以用无形式作用论来推演的。数学不再是静态的公理体系，而是通过辩证过程转化的结果。数学成为了哲学的符号化表达，哲学成为了数学的内在逻辑。

我的方法为ZFC的9个公理提供了一种直观解释，并将它们统一在“辩证逻辑”的框架下。我的解释表明，这9个公理可以被视为一个统一的辩证体系，彼此协调一致，没有发现它们之间的矛盾。这表明这些公理作为一个整体，符合辩证逻辑的对立、否定和统一的基本原则。根据哥德尔第二不完备性定理，在形式逻辑范围内ZFC的一致性无法在ZFC内部证明，必须依赖更强的外部公理。但是我的方法显然跳出了传统形式逻辑。

由于数学的运算需要使用形式逻辑，所以，数学就是辩证逻辑和形式逻辑的一个组合运用。这种组合是两种逻辑最典型的应用。哥德尔不完备性定理其实是在说明仅仅使用形式逻辑是不完备的。必须把辩证逻辑和形式逻辑合为一体，同时使用两者才能完备的构建数学系统。既然已经用无形式作用论和辩证逻辑统一的解释了ZFC的公理，因此，数学将进入两种逻辑合为一体的时代，这是数学史上的一次重大变革。辩证逻辑也是形式化的逻辑，所以，只以形式逻辑为标准进行证明和推演系统的一致性的方式是有局限性的。在小节“辩证逻辑”中已经论证了，辩证逻辑和形式逻辑是互补的逻辑，仅仅只使用其中一个是不完善的。

哥德尔不完备性定理的第一定理是指，在一个一致的、包含初等算术的形式系统内，存在既不能判定为真、也不能判定为假的命题P。严格的讲，这样的命题是在形式逻辑的范围内出现的。根据我构建的隔离逻辑，可以把命题P设置为：Ind（Indeterminate）。这样，哥德尔不完备性定理就成为完备性的定理了。其实，这正是我们需要的状态，因为Ind的状态是不确定的辩证状态，所以，在这种情况下如果某个命题出现了Ind辩证状态，那么就说明它需要使用超越形式逻辑的理论来解释或处理。ZFC集合论就是一个这样的形式体系，在其中一定有P这样的命题，对于这样的命题我们一定需要使用超越形式逻辑的理论进行解释。在小节“隔离逻辑”中的电车难题（Trolley Problem），就是得到了一个Ind状态的结果，最后还是使用否定一种选择，而获得另一种选择的辩证的方式来解决的问题。

用无形式作用论和辩证逻辑证明连续统假设（continuum hypothesis）：

连续统假设描述：在ZFC集合论中，不存在介于可数无穷基数（自然数集的基数）ℵ0和连续统基数（实数集的基数）2ℵ0之间的基数。常记作CH。

（1）哥德尔在1938年证明了CH相对于ZFC公理系统是协调的（consistent）。这意味着在ZFC公理系统内，CH不能被证明为假。换句话说，CH与ZFC公理系统是一致的，不会导致矛盾。

哥德尔构建了一个特殊的集合宇宙( L )，称为“可构造宇宙”。在( L )中，所有集合都可以通过一种递归构造方式从“空集”开始生成。

因为( L )是ZFC的一个模型（满足所有ZFC公理），且在( L )中CH为真，所以CH不会与ZFC矛盾。因此，CH无法在ZFC内被证明为假，否则( L )模型会不一致。

哥德尔构建集合宇宙( L )的步骤（这不是详细的数学证明，只是演示步骤）：

第一步：构造自然数集

从L0=∅开始：

L1={∅}（0），

L2={∅,{∅}}（0, 1），

L3={∅,{∅},{∅,{∅}}}（0, 1, 2），…

到

Lω=⋃n<ωLn={∅,{∅},{∅,{∅}},…}：

包含所有自然数（冯·诺伊曼序数），基数为ℵ0（可数无穷）。

第二步：开始构造P(ω)的可构造子集

Lω+1=Def(Lω)：

包含Lω上所有可定义子集，如“偶数集” {0,2,4,…}。

未包含 P(ω)的不可构造子集（如随机实数）。

基数仍为ℵ0（可数），但开始搭建 P(ω)的基础。

第三步：完成P(ω)的构造

Lω1=⋃α<ω1Lα：

ω1是第一个不可数序数，Lω1包含所有在 ( L ) 中可构造的 P(ω)子集。

在 V=L中，P(ω)={X⊆ω∣X 在 L 上可定义}。

基数计算：

每个X∈P(ω)由序数α<ω1（∣ω1∣=ℵ1）和可数公式定义，

∣Lω1∣=∣ω1∣⋅ℵ0=ℵ1。

V=L排除不可构造子集（如 2ℵ0>ℵ1的模型），

且2ℵ0≥ℵ1（康托尔定理），故 2ℵ0=ℵ1（CH）。

（2）科恩（Paul Cohen）在1963年通过力迫法（Forcing）证明了CH也不能在ZFC公理系统内被证明为真。

第一步：选择初始模型

取可数传递模型 ( M )，满足 ZFC，包含ω（∣ω∣=ℵ0）和 ω1M（∣ω1M∣=ℵ1M）。

第二步：定义强迫条件

P={p∣p:ω×ω2M→{0,1},dom(p) 有限}：

( p ) 是有限部分函数，ω2M是 ( M ) 中的ℵ2M。

p≤q若 q⊆p。

第三步：引入泛型集 ( G )

G⊆P是泛型滤子，满足 ( M ) 中每个稠密子集 ( D ) 与 ( G ) 相交。

定义

fGα:ω→{0,1}（α<ω2M）：

fGα(n)=1若∃p∈G,p(n,α)=1。

第四步：扩展模型 ( M[G] )

( M[G] ) 是 ( M ) 加入 ( G ) 的扩展模型，满足 ZFC。

基数：

∣ω∣=ℵ0，∣ω1M∣=ℵ1M[G]。

∣P(ω)∣≥∣ω2M∣=ℵ2M[G]>ℵ1M[G]。

故2ℵ0>ℵ1，CH为假。

第五步：验证 ZFC 一致性

( M[G] ) 满足 ZFC，若ZFC 一致，则 CH 在 ZFC 中不可证。

这样，CH既无法被证明为真，又无法被证明为假，这就是辩证状态Ind。

从形式逻辑的角度讲科恩的证明是没有问题的。但是从无形式作用论的角度讲，科恩的证明就有问题，在他的证明中科恩假设 ( M ) 和 ( G ) 存在，未构造 ( M[G] ) 的具体元素，这不满足我对集合的定义。集合必须是能够构造的，就像哥德尔在证明中做的那样。所以，科恩的证明是有问题的。

证明的本质就是要满足同一性，不管是形式逻辑的同一性，还是辩证逻辑的同一性，还是无形式作用论的同一性。其实这两种逻辑系统的同一性都属于无形式作用论的同一性，所以，本质上讲，证明就是要满足无形式作用论的同一性。这其实是扩大了数学证明的范围。不再局限于形式逻辑的同一性。证明不仅要求形式推导，还要满足辩证统一，还要满足构造性显现。这正好体现了证明所具有的三种无形式作用：形式推导对应静态的隔离作用，辩证统一对应动态的动力作用，构造性显现对应直观的显现作用。也就是说，一个证明要同时满足这三种同一性，缺少一个都不行。在传统的形式逻辑的证明中，人们通过经验（例如，通过构建公理）使得辩证逻辑的同一性和无形式作用论的同一性在大多数情况下是满足的。然而到了数学中最基础的集合论领域，形式逻辑就明显暴露出了其不足之处。

如果ZFC系统加入构造性公理。那么哥德尔的证明就已经证明了CH，因为，根据哥德尔的证明，他构造的集合满足构造性公理（满足无形式作用论的同一性），而且他穷尽了所有的可构造集合，所以，在自然数和实数之间不存在基数在它们之间的一个集合了。而且他的证明使得CH和ZFC没有矛盾，满足形式逻辑的同一性。而且，他的构造满足ZFC，由于ZFC的公理满足多维辩证逻辑，所以他的构造满足辩证逻辑的同一性。所以，哥德尔的证明满足所有的同一性，因此，ZFC+C加上哥德尔的证明就已经证明了CH。从无形式作用论看，ZFC只有变成了ZFC+C才是完备的（已经完全满足无形式作用论了）。之所以CH不能够得到证明就是因为ZFC缺少构造性公理。

对于数学证明，在一个一致的、包含初等算术的形式系统内，哥德尔不完备性定理已经证明了在形式逻辑的范围内有不可判定为真和假的命题。对于这样的命题，如果它在这个系统内是不矛盾的，也就是满足形式逻辑的同一性，那么就需要看它是否满足辩证逻辑的同一性，如果满足，再看它是否满足无形式作用论的同一性，如果都满足，那么这个命题就是正确的。

参考文献 (References)

Gödel, K. (1938). The Consistency of the Continuum Hypothesis.

Cohen, P. (1963). The Independence of the Continuum Hypothesis.